MAGISTER
OPOSICIONES AL PROFESORADO
Matemáticas
TEMA 1
NUMEROS NATURALES. SISTEMAS DE
NUMERACION
1.
INTRODUCCIÓN
2.
AXIOMAS DE PEANO
3.
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
4.
ORDENACIÓN EN LOS NÚMEROS NATURALES
5.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
6.
BIBLIOGRAFÍA
7.
CUESTIONES
INTRODUCCIÓN
1.1
Localización
Este es el tema inicial del programa de matemáticas. Forma parte de
un bloque bien diferenciado que va desde este tema hasta el tema 10 en que se
analizan las distintas estructuras que han sido construidas históricamente para
describir números. En este sentido el bloque en cuestión es autocontenido y sus
relaciones con las otras partes del programa son solo para proporcionar una
base conceptual rigurosa.
De forma particular el tema que nos ocupa se relaciona dentro de su
bloque temático con el tema 4 en que se estudian los números enteros, y con el
tema 7 que se ocupa de números aproximados y de la notación científica.
1.2
Objetivos y contenidos
Los objetivos globales del tema son dos:
§
La definición y análisis del conjunto de los
números naturales.
§
La descripción y el manejo de los sistemas de
numeración.
En la segunda sección se introduce la definición axiomática del
conjunto de los números naturales según los axiomas de Peano. Es decir lo que
hacemos es establecer las condiciones que debe cumplir un conjunto para que
merezca ser considerado como conjunto de los números naturales. Estas
condiciones se resumen en cinco axiomas. Es de destacar, en particular, el
último axioma que lo que enuncia es sencillamente la validez del principio de
inducción matemática, que constituye una de las herramientas de construcción
más importantes de las matemáticas. El objetivo particular de esta sección es
proporcionar una definición rigurosa del conjunto de los números naturales.
La sección tercera se ocupa de las operaciones con los números
naturales. Se introducen la suma y el producto de forma axiomática mediante
condiciones que conducen a la construcción de estas operaciones para
cualesquiera dos números naturales. Solo se demuestra la consistencia de las
definiciones para la operación de suma. De igual forma únicamente se demuestra
de forma completa la propiedad asociativa de la suma. Hay que tener en cuenta
que la demostración de todas las propiedades de esta sección nos ocupara mucho
más espacio del que disponemos para una exposición del tema. Es sin embargo muy
importante mencionar que el principal argumento de las demostraciones del tema
es el uso del axioma quinto de Peano (principio de inducción). Se recomienda
también no omitir en ningún caso el cálculo de algunas sumas y productos
elementales partiendo de los principios básicos. Tanto la aplicación del axioma
quinto como la construcción de las operaciones son los principales objetivos de
esta sección.
La definición de la relación de orden para los números naturales es
el objetivo de la sección cuatro. Asimismo se demuestran tres propiedades antes
que son:
§
La propiedad de orden total
§
La propiedad de buena ordenación
§
La propiedad Arquimediana
Antes de estudiar esta sección es conveniente repasar la teoría de
las relaciones binarias y especialmente las relaciones de orden. En la
exposición del tema hay que enunciar con claridad las tres propiedades
mencionadas. La propiedad Arquimediana aparecerá con frecuencia en temas
posteriores como el tema cuatro, en relación con la división entera, o en el
tema seis en la definición de los números reales.
La sección cinco est dedicada a los sistemas de numeración. Como el
tratamiento completo de este tema necesita mucho espacio, nuestro objetivo es
hacer una descripción muy esquemática pero que sea lo más compresible posible.
Por ello comenzamos con el enunciado de la división entera sin demostración. A
continuación introducimos los sistemas de numeración con base arbitraria a partir
de una consecuencia de la división entera, e introducimos la terminología
habitual de dígitos, notación posiciones así como los sistemas decimal, binario
y hexadecimal. Al final de la sección se proporcionan algoritmos para pasar del
sistema binario al decimal y recíprocamente. Es muy importante incluir en la
exposición ejemplos prácticos de estas cuestiones.
1.3. Indicaciones
La estructura global del tema es en resumen la siguiente:
§
La definición del conjunto de los números
naturales mediante los axiomas de Peano.
§
Construcción de la suma y el producto.
§
Definición de la ordenación de números naturales.
§
Descripción de los sistemas de numeración con
énfasis en el sistema decimal y el binario.
§
Algoritmos de conversión entre los sistemas
decimal y binario.
No hacemos ninguna demostración extensa, aunque se incluyen diversas
demostraciones
cortas en que predomina el uso del principio de inducción. Los
requisitos para abordar el estudio del tema son fundamentalmente la teoría de
relaciones binarias y especialmente la de las relaciones de orden.
Para una exposición oral de una hora de duración podría seguirse la
siguiente estrategia:
1
Situar el tema dentro del temario e indicar sus
relaciones con otros temas.
2
Indicar los objetivos globales.
3
Escribir en la pizarra el orden de la exposición
sin demasiados detalles.
4
Comenzar con la definición de los números
naturales a través de los axiomas de Peano.
5
Comentar de palabra el significado de cada uno de
los axiomas.
6
Destacar la relación entre el axioma cinco y el
principio de inducción.
7
Demostrar las propiedades del apartado c) de la
sección dos.
8
Definir la suma y el producto sin detenerse en
demostrar la coherencia de la definición.
9
Calcular las sumas y los productos de los primeros
naturales partiendo de las definiciones. De forma optativa puede demostrarse la
propiedad asociativa de la suma.
10
Definir la ordenación de los naturales y demostrar
que es una relación de orden.
11
Enunciar sin demostración pero con claridad las
tres propiedades fundamentales de la ordenación en los naturales (apartado b)
de la sección cuatro).
12
Introducir los sistemas de numeración partiendo
del teorema 1 del apartado 5-b. Definir la noción de dígitos y de la notación
posicional.
13
Escribir algún número en las bases binaria y
hexadecimal.
14
Mencionar la importancia del sistema binario en
relación con los ordenadores.
15
Introducir con rapidez los algoritmos de paso de
los sistemas decimal y binario. Puede indicarse la demostración de la técnica
para pasar del decimal al binario. La del paso inverso es consecuencia
inmediata de esta.
16
Terminar con un ejemplo concreto de aplicación de
los algoritmos.
Para la realización de una prueba escrita podría elaborarse un
esquema similar al anterior. Sin embargo dado que en general no será posible
desarrollar los contenidos con igual amplitud son aconsejables las siguientes
modificaciones:
§
Escribir el título del tema destacado del resto al
comienzo de la primera hoja del ejercicio.
§
Dividir el ejercicio en secciones en una forma
similar a la que empleamos en el texto.
§
A continuación del título comenzar con la sección
de introducción. En esa sección comenzar describiendo con brevedad la situación
del tema dentro del temario.
§
Dejar un espacio libre a continuación para
completar la introducción al final del resto del ejercio. En ese espacio
comentaremos finalmente, también con brevedad, los contenidos que incluimos del
tema.
§
Desarrollar el tema destacando claramente los
elementos del tipo:
- Definiciones
- Listas de
propiedades
- Teoremas
§
Si no se recuerda una demostración debe incluirse
una serie de comentarios sobre el enunciado, incluyendo siempre ejercicios
ilustrativos.
§
No dejar cortado el tema en la primera parte sobre
los números naturales. Debe darse al menos una extensión similar a la parte
sobre los sistemas de numeración.
2. AXIOMAS DE PEANO
2.1 Enunciados
Los axiomas de Peano para el conjunto N de los números naturales son:
P1) Existe un elemento que denotaremos 0 Î N.
P2) Para todo a Î N existe otro que
denotaremos s(a) Î N Y denominaremos sucesor de a.
P3) Para todo a Î N su sucesor s(a) es distinto de 0.
P4) Dados a, b Î N con el mismo sucesor s(a)=s(b) entonces a=b.
P5) Dado un subconjunto M Ì N tal que
i) 0 Î M
ii) Si a Î M también s(a) Î M.
Entonces M=N:
2.2 Comentarios
1.
Los cinco axiomas de Peano son las propiedades
esenciales para identificar un conjunto con el conjunto de los números
naturales. Pueden también enunciarse eliminando el elemento 0 y cambiándolo por
el 1.
2.
La interpretación de los axiomas es la siguiente.
Cada número natural posee otro asociado que le sigue, su sucesor (P2). Hay un
número natural, el 0 que no sigue a ningún otro (P1 y P3). Números distintos
tienen sucesores distintos (P4). Ningún subconjunto de N salvo ‚l mismo
satisface P1-P4 (P5).
3.
El axioma P5 es en realidad la afirmación de la
validez del principio de inducción.
4.
Los axiomas anteriores son un punto de partida
para desarrollar aplicaciones y propiedades de los números naturales, y no
pueden demostrarse a partir de principios más elementales.
5.
Los números naturales en su notación habitual son:
1=s(0), 2=s(1),...
2.3 Propiedades
1. La aplicación
s: N ® N
a ® s(a)
es inyectiva pero no sobreyectiva.
2. Todo número natural distinto de cero es sucesor de algún otro.
Demostración
1. Por el axioma P4 es claro que s
es inyectiva, ya que dos elementos a
y b distintos en N deben tener imágenes distintas bajo s. Por otro lado el axioma P3 nos dice que 0 Ï Ims, lo cual quiere decir que el recorrido de la aplicación s no es igual a todo el conjunto de los
números naturales. Es decir, la aplicación s
no es sobreyectiva.
2. Lamemos M={0} È Ims.
§
Probemos en primer lugar que:
0 Î M
Esto es obvio por la definición de M.
§
Demostremos ahora que se verifica:
aÎM Þ s(a) Î M
Supongamos que a Î M, entonces s(a) Î Ims Ì M. Luego queda probado.
Utilizando ahora P5 (el axioma
de inducción) deducimos M=N y así
queda completa la demostración.
3. OPERACIONES CON NÚMEROS
NATURALES
3.1 Suma
La suma en N se define a
trav‚s de las dos condiciones siguientes:
1. a+0=a
2. a+s(b)=s(a+b)
Continúa...
6. BIBLOGRAFÍA
[1] E. W. Weisstein, CRC Concise Encyclopedi of
Mathematics, Chapman Hall,1999
[2] I. Connell: Modern Algebra. A constructive
Introduction. Edward Arnold. London, 1982.
[3] J. Dixmier: Cours de Mathmatiques du premier
cycle, Vol. 1 y 2. Gauthier-Villars, 1976.
[4] A. I. Kostrikin: Introduction al Álgebra.
McGraw-Hill, 1992.
7. CUESTIONES
1. Probar que el sucesor de un número natural a Î N es distinto de a
Solución
Supongamos que s(a)=a. Por P3) es claro que a¹0.
Consideremos ahora el conjunto M=N-{a}
Se verifica que:
·
0 Î M.
·
Si b Î M, entonces s(b) Î M
En efecto, sea b Î M. Si s(b) = a = s(a),
entonces a=b debido a P4). Lo cual es
una contradicción pues a Ï M. Por lo tanto s(b) ¹ a y s(b) Î M.
Utilizando ahora P5) nos queda M=N que es una contradicción.
Continúa...